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Qu'est-ce que l'inégalité de Markov?

Qu'est-ce que l'inégalité de Markov?

L'inégalité de Markov est un résultat utile en probabilité donnant des informations sur une distribution de probabilité. Ce qui est remarquable, c’est que l’inégalité est valable pour toute distribution à valeurs positives, quelles que soient ses autres caractéristiques. L'inégalité de Markov donne une limite supérieure pour le pourcentage de la distribution qui dépasse une valeur particulière.

Déclaration de l'inégalité de Markov

L'inégalité de Markov dit que pour une variable aléatoire positive X et tout nombre réel positif une, la probabilité que X est supérieur ou égal à une est inférieur ou égal à la valeur attendue de X divisé par une.

La description ci-dessus peut être énoncée plus succinctement en utilisant la notation mathématique. En symboles, nous écrivons l'inégalité de Markov comme suit:

P (Xune) ≤ E( X) /une

Illustration de l'inégalité

Pour illustrer l'inégalité, supposons que nous ayons une distribution avec des valeurs non négatives (telle qu'une distribution du khi-deux). Si cette variable aléatoire X a une valeur attendue de 3, nous allons examiner les probabilités pour quelques valeurs de une.

  • Pour une = 10 l'inégalité de Markov dit que P (X ≥ 10) ≤ 3/10 = 30%. Donc, il y a une probabilité de 30% que X est supérieur à 10.
  • Pour une = 30 l'inégalité de Markov dit que P (X ≥ 30) ≤ 3/30 = 10%. Donc, il y a une probabilité de 10% que X est supérieur à 30.
  • Pour une = 3 l'inégalité de Markov dit que P (X ≥ 3) ≤ 3/3 = 1. Les événements avec une probabilité de 1 = 100% sont certains. Cela signifie donc que certaines valeurs de la variable aléatoire sont supérieures ou égales à 3. Cela ne devrait pas être trop surprenant. Si toutes les valeurs de X étaient inférieurs à 3, la valeur attendue serait également inférieure à 3.
  • En tant que valeur de une augmente, le quotient E(X) /une deviendra de plus en plus petit. Cela signifie que la probabilité est très faible que X est très, très grand. Encore une fois, avec une valeur attendue de 3, nous ne nous attendions pas à une grande partie de la distribution avec des valeurs très grandes.

Utilisation de l'inégalité

Si nous en savons plus sur la distribution avec laquelle nous travaillons, nous pourrons généralement améliorer l'inégalité de Markov. Son utilité réside dans le fait qu’elle est valable pour toute distribution comportant des valeurs non négatives.

Par exemple, si nous connaissons la taille moyenne des élèves d'une école primaire. L'inégalité de Markov nous dit que pas plus d'un sixième des élèves ne peut avoir une taille supérieure à six fois la hauteur moyenne.

L'autre utilisation majeure de l'inégalité de Markov est de prouver l'inégalité de Chebyshev. Cela a pour conséquence que le nom «inégalité de Chebyshev» est également appliqué à l'inégalité de Markov. La confusion dans la désignation des inégalités est également due aux circonstances historiques. Andrey Markov était l'élève de Pafnuty Chebyshev. Le travail de Chebyshev contient l'inégalité attribuée à Markov.