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Définir la théorie

Définir la théorie

La théorie des ensembles est un concept fondamental dans toutes les mathématiques. Cette branche des mathématiques constitue une base pour d’autres sujets.

Intuitivement, un ensemble est une collection d'objets, appelés éléments. Bien que cela semble être une idée simple, cela a des conséquences d'une portée considérable.

Éléments

Les éléments d'un ensemble peuvent vraiment être n'importe quoi - des nombres, des états, des voitures, des personnes ou même d'autres ensembles sont autant de possibilités d'éléments. À peu près tout ce qui peut être rassemblé peut être utilisé pour former un ensemble, bien que nous devions faire attention à certaines choses.

Jeux égaux

Les éléments d'un ensemble sont soit dans un ensemble, soit non dans un ensemble. Nous pouvons décrire un ensemble par une propriété de définition ou répertorier les éléments de cet ensemble. L'ordre dans lequel ils sont listés n'est pas important. Ainsi, les ensembles {1, 2, 3} et {1, 3, 2} sont des ensembles égaux, car ils contiennent tous deux les mêmes éléments.

Deux ensembles spéciaux

Deux ensembles méritent une mention spéciale. Le premier est l'ensemble universel, généralement noté U. Cet ensemble représente tous les éléments parmi lesquels nous pouvons choisir. Cet ensemble peut être différent d’un paramètre à l’autre. Par exemple, un ensemble universel peut être l'ensemble des nombres réels, tandis que pour un autre problème, l'ensemble universel peut être constitué des nombres entiers {0, 1, 2,…}.

L'autre ensemble qui nécessite une certaine attention est appelé l'ensemble vide. L'ensemble vide est l'unique ensemble est l'ensemble sans éléments. Nous pouvons écrire ceci comme {} et désigner cet ensemble par le symbole.

Sous-ensembles et ensemble de puissance

Une collection de quelques éléments d'un ensemble UNE est appelé un sous-ensemble de UNE. On dit que UNE est un sous-ensemble de B si et seulement si chaque élément de UNE est aussi un élément de B. S'il y a un nombre fini n d'éléments dans un ensemble, alors il y a un total de 2n des sous-ensembles de UNE. Cette collection de tous les sous-ensembles de UNE est un ensemble qui s'appelle le pouvoir de UNE.

Opérations de réglage

Tout comme nous pouvons effectuer des opérations telles que l’addition - sur deux nombres pour obtenir un nouveau nombre, les opérations de la théorie des ensembles sont utilisées pour former un ensemble à partir de deux autres ensembles. Il existe un certain nombre d'opérations, mais presque toutes sont composées des trois opérations suivantes:

  • Union - Un syndicat signifie un rapprochement. L'union des ensembles UNE et B se compose des éléments qui sont soit UNE ou B.
  • Intersection - Une intersection est l'endroit où deux choses se rencontrent. L'intersection des ensembles UNE et B se compose des éléments qui à la fois UNE et B.
  • Complément - Le complément de l'ensemble UNE se compose de tous les éléments de l'ensemble universel qui ne sont pas des éléments de UNE.

Diagrammes de Venn

Un diagramme utile pour décrire la relation entre différents ensembles est appelé diagramme de Venn. Un rectangle représente l’universel pour notre problème. Chaque ensemble est représenté par un cercle. Si les cercles se chevauchent, ceci illustre l'intersection de nos deux ensembles.

Applications de la théorie des ensembles

La théorie des ensembles est utilisée tout au long des mathématiques. Il sert de base à de nombreux sous-domaines des mathématiques. Dans les domaines relatifs aux statistiques, il est particulièrement utilisé en probabilité. Une grande partie des concepts de probabilité dérivent des conséquences de la théorie des ensembles. En effet, une façon d’énoncer les axiomes de la probabilité implique la théorie des ensembles.